¡Los pitagóricos y los números irracionales!
La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de números irracionales, es decir, números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros (...-3,-2,-1.0,1,2,3,...) ni racionales (fracciones de números enteros).
- Ellos los llamaron númerosinconmensurables.
- Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el problema siguiente:
- Si se traza un cuadrado cuyo lado mida la unidad, es decir 1, y se intenta calcular lo que mide la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras, podemos dividir el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal d del cuadrado. En resumen tenemos dos triángulos rectángulos iguales con catetos que miden 1.
- Si ahora aplicamos el Teorema de Pitágoras tenemos que se verifica el siguiente desarrollo despejando d en la relación pitagórica.
- Y el número es irracional ("infinitas cifras decimales no periódicas"), tal y como vamos a probar más adelante.
- Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de este tipo de números "tan raros" que contradecía su doctrina que preconizaba la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía. Al parecer llegaron a decidir mantener en secreto su descubrimiento que mostraba la fragilidad de sus creencias, pero uno de ellos lo reveló traicionando a la secta por lo que fue ejecutado.
- Euclides (300 a.C.) recoge en su obraLos Elementos una referencia a los números irracionales y prueba el siguiente teorema que, posiblemente ya fue probado casi 300 años antes por el propio Pitágoras o alguno de sus discípulos:
Supongamos entonces que no es un número irracional, es decir que es racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede simplificar más), de modo que:
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